Question

7．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，P为CD上异于C、D的一动点，且△APB为直角三角形，
（1）若AB=5，AD=2，则DP=1或4；
（2）若AB=a，AD=b，当a、b满足什么条件时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个？

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，根据矩形的性质得到CD=AB=5，CB=AD=2，∠D=∠C=∠DAB=90°，于是推出∠DAP=∠BPC，得到△APD∽△PBC，证得$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$，即可求得结论；
（2）当△APB为等腰直角三角形时，即PA=PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，根据等腰直角三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=45°，于是推出△ADP与△PBC是等腰直角三角形，于是得到CD=2AD，即a=2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵CD=AB=5，CB=AD=2，∠D=∠C=∠DAB=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠DAP+∠DPA=∠DPA+∠BPC=90°，
∴∠DAP=∠BPC，
∴△APD∽△PBC，
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$，
即$\frac{2}{5-PD}=\frac{PD}{2}$，
解得：PD=1，或PD=4；
故答案为：1或4；

（2）当△APB为等腰直角三角形时，
即PA=PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠DAP=∠PBC=45°，
∴△ADP与△PBC是等腰直角三角形，
∴CD=2AD，
即a=2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．

点评 本题考查了相似三角形2，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．