Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，AD垂直于BC，垂足为D，AD=2，CD=3，BD=4，则⊙O的直径为$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E=∠C，∠ABE=90°，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，通过△ABE∽△ADC，得到$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}$，于是求得AE=$\sqrt{65}$，即可得到答案．

解答 解：连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，
∴∠E=∠C，∠ABE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AD=2，CD=3，BD=4，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠ABE=∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}$，
即：$\frac{AE}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
∴AE=$\sqrt{65}$，
∴⊙O的直径为$\sqrt{65}$．
故答案为：$\sqrt{65}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．