Question

19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为BC边上的任意一点（点P与B，C不重合），且DQ⊥AP，垂足为Q．设AP=x．DQ=y．
（1）如果连接DP，那么△ADP的面积等于$\frac{1}{2}$xy；
（2）当点P为BC上的一个动点时，线段DQ也随之变化，若$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AB}{DQ}$，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式即可求得结论；
（2）根据四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B=90°，∠DAP=∠APB，根据DQ⊥AP，得∠B=∠AQD，即可证出△DAQ∽△APB；
根据△DAQ∽△APB，得$\frac{DQ}{AB}=\frac{DA}{AP}$，再把AB=2，DA=2，PA=x，DQ=y代入得出$\frac{y}{2}=\frac{2}{x}$，y=$\frac{4}{x}$．根据点P在BC上移到C点时，PA最长，求出此时PA的长即可得出x的取值范围．

解答 解：（1）∵DQ⊥AP，垂足为Q，设AP=x，DQ=y，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$AP•DQ=$\frac{1}{2}$xy；
故答案为：$\frac{1}{2}$xy；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAP=∠APB，
∵DQ⊥AP，
∴∠AQD=90°，
∴∠B=∠AQD，
∴△DAQ∽△APB；
∴$\frac{DQ}{AB}=\frac{DA}{AP}$，
∵AB=2，
∴DA=2，
∵PA=x，DQ=y，
∴$\frac{y}{2}=\frac{2}{x}$，
∴y=$\frac{4}{x}$．
∵点P在BC上移到C点时，PA最长，此时PA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
又∵P是BC边上与B、C不重合的任意一点，
∴x的取值范围是；2＜x＜2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、正方形的性质，关键是能根据两三角形相似求出函数关系式．