张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图①.在△ABC中.AB=AC.点P为边BC上的任一点.过点P作PD⊥AB.PE⊥AC.垂足分别为D.E.过点C作CF⊥AB.垂足为F．求证:PD+PE=CF．小军的证明思路是:如图2.连接AP.由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF．小俊的证明思路是:如图2.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题：
【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．

分析如下图②，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题．
【变式探究】如下图③，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题．
【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，如下图④，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．

解答证明：（方法1）连接AP，如图②
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，
∴$\frac{1}{2}$AB•CF=$\frac{1}{2}$AB•PD+$\frac{1}{2}$AC•PE，
∵AB=AC，
∴CF=PD+PE；
（方法2）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，
∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°，
∴四边形PDFG是矩形，
∴DP=FG，∠DPG=90°，
∴∠CGP=90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP=90°，
∴∠PGC=∠CEP，
∵∠BDP=∠DPG=90°，
∴PG∥AB，
∴∠GPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠GPC=∠ECP，
在△PGC和△CEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGC=∠CEP}\\{∠GPC=∠ECP}\\{PC=CP}\end{array}\right.$，
∴△PGC≌△CEP，
∴CG=PE，
∴CF=CG+FG，
=PE+PD；
【变式探究】
证明：连接AP，如图③，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S_△ABC=S_△ABP-S_△ACP，
∴$\frac{1}{2}$AB•CF=$\frac{1}{2}$AB•PD-$\frac{1}{2}$AC•PE，
∵AB=AC，
∴CF=PD-PE；
【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°，
∵AD=8，CF=3，
∴BF=BC-CF=AD-CF=5，
由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF，
∴DF=5，
∵∠C=90°，
∴DC=$\sqrt{D{F}^{2}-C{F}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ=DC=4，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，
∴PG+PH=4，
∴PG+PH的值为4．

点评本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．