Question

3．如图：△ABC是等边三角形，以BD为边向外作等边三角形△DBC，点E，F分别在AB，AD上且AE=DF，连接BF，DE，两直线相交于点G，连接CG，下列结论：①∠BGE=60°，②CG平分∠BGD，③CG=DG+BG．其中正确的是（　　）

• A． 仅有①③
• B． 仅有①②
• C． 仅有②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由三角形ABD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AB=BD，∠A=∠BDF=60°，再由AE=DF，利用SAS得到三角形AED与三角形DFB全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ADE=∠DBF，利用三角形内角和定理及等边三角形性质得到∠BGE=60°；延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．构建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性质来证明CG=DG+BG，且得到GC为角平分线．

解答 解：∵△ABD为等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠BDF=60°，
在△AED和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠A=∠BDF}\\{AD=DB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠GEB=∠A+∠ADE=60°+∠ADE=60°+∠DBF，
∵∠DBF+∠GBE=60°，
∴∠BGE=180°-∠GEB-∠GBE=180°-60°-60°=60°，选项①正确；
延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．
由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM，
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG，选项③正确；
∵∠BGE=60°，
∴∠MGC=∠DGC=60°，即GC平分∠BGD，选项②正确
故选D．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．