Question

如图：抛物线y=ax²-4ax+m与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=ax²-4ax+m的对称轴公式x=-

b

2a

，即可求得其对称轴，又由点A、B关于对称轴对称，即可求得点B的坐标；
（2）由点A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边形ABPC是平行四边形，然后设点C（0，x）（x＜0），证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式．

解答：解：（1）对称轴是x=-

b

2a

=2，
∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，
∴点B（3，0）；

（2）点A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，
设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=

x2+1

，
∴BP=

x2+1

，
在Rt△BOC中，BC=

x2+9

，
∵

BD

BC

=

BE

BO

=

1

3

，
∴BD=

1

3

x2+9

，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴BP²=BD•BC，
即（

x2+1

）²=

1

3

x2+9

•

x2+9

，
∴x²+1=

1

3

（x²+9），
∴x₁=

3

，x₂=-

3

，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0，-

3

），
∴y=ax²-4ax-

3

，
∵过点（1，0），
∴a-4a-

3

=0，
解得：a=-

3

3

．
∴抛物线解析式是：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

．

点评：此题考查了二次函数对称轴的求解方法，二次函数的对称性，待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合的应用．