Question

如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点P，O₁ O₂的延长线交⊙O₂于点A，AB切⊙O₁于点B，交⊙O₂于点C．BE是⊙O₁的直径，连结PE，过点B作BF⊥O₁P，垂足为F，延长BF交PE于点G，连结BP．
（1）求证：PB是PG和PE的比例中项；
（2）若PF=2，sin∠O1BF=

3

5

，求⊙O₁、⊙O₂的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）可通过证三角形BPG和EPB相似来求证，这两个三角形中已知了一个公共角，根据等边对等角和等角的余角相等可得出另一组对应角相等，得出两三角形全等后即可得出本题所求的结论；
（2）根据sin∠O1BF=

3

5

，设O₁B=5x，BF=4x，O₁F=5x-2，在直角三角形O₁FB中，根据勾股定理有：O₁F²+BF²=O₁B²，求出x的值，进而求出两圆半径．

解答：（1）证明：∵O₁P=O₁E，
∴∠E=∠O₁PE，
∵∠O₁PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，
∴∠PBG=∠O₁PG=∠E，
∵∠BPE=∠GPB，
∴△BPE∽△GPB，
∴

EP

BP

=

PB

PG

，即：PB²=PG•PE；

（2）解：∵∠A+∠AO₁B=∠O₁BF+∠AO₁B=90°，
∴∠O₁BF=∠A，
∵sin∠O1BF=

3

5

，
∴设O₁B=5x，BF=4x，O₁F=5x-2，
在直角三角形O₁FB中，根据勾股定理有：
O₁F²+BF²=O₁B²，
（5x-2）²+（4x）²=（5x）²，
解得x₁=1，x₂=

1

4

，
x=

1

4

时，5x-2＜0，不合题意舍去．
因此O₁B=O₁P=5×1=5．
在直角三角形AO₁B中，sin∠BAO₁=

3

5

．
因此AO₁=

25

3

，
AP=AO₁-O₁P=

25

3

-5=

10

3

，因此O₂的半径为

5

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质以及解直角三角形的应用等知识点，注意巧妙利用勾股定理，设未知数列出方程．