Question

求自然数对（a，b），同时满足条件：
（1）0＜a-

2

b＜1；（2）15O＜（a+

2

b）³＜200．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：

分析：根据a-

2

b＜1，则a-1＜

2

b，2a-1＜a+

2

b，又（a+

2

b）³＜200，即可得到（2a-1）³＜200＜6³，据此即可得到关于a的不等式求得a的值，然后利用排除法即可求解．

解答：解：∵a-

2

b＜1，
∴a-1＜

2

b，2a-1＜a+

2

b，
又∵（a+

2

b）³＜200，
∴（2a-1）³＜200，而200＜216＜6³，
∴2a-1＜6，则a＜

7

2

，
∵a是自然数，
∴a的值可能是1，2，3．
由已知a-

2

b＞0，a＞

2

b，且b是自然数，最小是1，
∴a≠1，
若a=2，由2＞

2

b，可知b只可能为1，此时
（2+

2

）³＜4³=64＜150，与条件（2）相矛盾；
若a=3，由a-1＜

2

b＜a，知2＜

2

b＜3，
∴b=2．则0＜3-2

2

＜1，满足（1），
此时，（a+

2

b）³=（3+2

2

）³=3³+3×3²×2

2

+3×3×（2

2

）²+（2

2

）³=99+70

2

，
设70

2

=m，则m²=9800．
∴98²＜m²＜99²=9801，
∴150＜197＜（3+2

2

）3＜198＜200，满足条件（2）．
则所求的自然数数对是（3，2）．

点评：本题考查了有理数和无理数的运算，正确对式子进行变化求得a的可能值是关键．