Question

[x]表示不大于x的最大整数，求：方程[2x]+[3x]=8x-

7

2

的所有实数解．

Answer 1

考点：取整计算

专题：

分析：应用分类讨论思想，分别从当x为整数时与x不是整数去分析．在x不是整数时，首先设x=a+b（其中a为整数，b为小于1的正实数），然后分别从当0＜b＜

1

3

时，当

1

3

≤b＜

1

2

时，当

1

2

≤b＜

2

3

时，当

2

3

≤b＜1时去分析求解，注意检验，则可求得答案．

解答：解：当x为整数时，2x+3x=8x-

7

2

，解得x=

7

6

，不符合，故此时无解；
于是设x=a+b（其中a为整数，b为小于1的正实数），
当0＜b＜

1

3

时，2a+3a=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

7

2

，
∵0＜b＜

1

3

，
∴

5

18

＜a=

7

6

-

8b

3

＜

7

6

，
∴a=1，b=0.0625，
∴x=1.0625；
当

1

3

≤x＜

1

2

时，2a+3a+1=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

9

2

，
∵

1

3

≤b＜

1

2

，
∴

1

6

＜a=

9

6

-

8b

3

≤

11

18

，无解；
当

1

2

≤b＜

2

3

时，2a+1+3a+1=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

11

2

，
∵

1

2

≤b＜

2

3

，
∴

1

18

＜a=

11

6

-

8b

3

≤

1

2

，无解；
当

2

3

≤b＜1时，2a+1+3a+2=8（a+b）-

7

2

，
∴3a+8b=

13

2

，
∵

2

3

≤b＜1，
∴-

1

2

＜a=

13

6

-

8b

3

≤

7

18

，
∴a=0，b=0.8125，
∴x=0.8125；
综上可得：x=0.8125或1.0625，共两个实数解．

点评：此题考查了取整函数的知识，解题的关键是注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用与分类讨论思想的应用，难度较大．