Question

10．如图，在直角坐标系中，已知点A的坐标为（6，0），点B（x，y）在第一象限内，且满足x+y=8，设△AOB的面积是S．
（1）写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当S=18时，求出点B的坐标；
（3）点B在何处时，△AOB是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由点B在第一象限且满足x+y=8，即可得出y=-x+8（0＜x＜8），再根据三角形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式；
（2）将S=18代入（1）的结论中，求出x值，即可得出点B的坐标；
（3）由点O、A、B的坐标利用两点间的距离公式求出OA、OB、AB的长度，分OA=OB、OA=AB和OB=AB三种情况考虑△AOB为等腰三角形，由线段相等可得出关于x的无理方程，解方程即可得出x值，将其代入点B的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵点B（x，y）在第一象限内，且满足x+y=8，
∴y=-x+8（0＜x＜8）．
S=$\frac{1}{2}$OA•y=$\frac{1}{2}$×6•（-x+8）=-3x+24（0＜x＜8）．
（2）令S=-3x+24中S=18，则-3x+24=18，
解得：x=2，y=-x+8=6，
∴点B的坐标为（2，6）．
（3）∵O（0，0），A（6，0），B（x，-x+8），
∴OA=6，OB=$\sqrt{{x}^{2}+（-x+8）^{2}}$，AB=$\sqrt{（x-6）^{2}+（-x+8）^{2}}$．
△AOB为等腰三角形分三种情况：
①当OA=OB时，有6=$\sqrt{{x}^{2}+（-x+8）^{2}}$，
解得：${x}_{1}=4+\sqrt{2}$，x₂=4-$\sqrt{2}$，
此时点B的坐标为（4+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$）或（4-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）；
②当OA=AB时，有6=$\sqrt{（x-6）^{2}+（-x+8）^{2}}$，
解得：x₃=7-$\sqrt{17}$，x₄=7+$\sqrt{17}$（舍去），
此时点B的坐标为（7-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$-1）；
③当OB=AB时，有$\sqrt{{x}^{2}+（-x+8）^{2}}$=$\sqrt{（x-6）^{2}+（-x+8）^{2}}$，
解得：x₅=3，
此时点B的坐标为（3，5）．
综上可知：点B的坐标为（4+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$）、（4-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）、（7-$\sqrt{17}$，$\sqrt{17}$-1）或（3，5）时，△AOB是等腰三角形．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及解无理方程，解题的关键是：（1）用x表示出y，并得出x的取值范围；（2）代入S=18求出x值；（3）分OA=OB、OA=AB和OB=AB三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的性质，分三条边两两相等来考虑．