Question

1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OP⊥AC于点D，交⊙O于点E，连接BE、CE，∠P=∠BEC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AC=8，DE=2．
①求⊙O的半径；
②设AP=x，EP=y，求x，y的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理结合已知得出PA⊥OA，进而得出PA是⊙O的切线；
（2）①直接利用勾股定理求出⊙O的半径；
②直接利用勾股定理得出关于x，y的等式进而得出答案．

解答 （1）证明：∵OP⊥AC，
∴∠P+∠PAD=90°．
∵∠P=∠BEC，∠BEC=∠BAC．
∴∠P=∠BAC，
∴∠BAC+∠PAD=90°．
∴PA⊥OA．
又∵AB是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线．

（2）解：①设⊙O的半径为r，则OD=r-2．
∵OP⊥AC，
∴∠AOD=90°，AD=CD=4．
在Rt△AOD中：r²=（r-2）²+4²．
解得：r=5．
故⊙O的半径为5．

②在Rt△PAO中  x²=（y+5）²-5²．
在Rt△PAD中 x²=（y+2）²+4²．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了切线的判定以及勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．