Question

19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F．求证：CF=2BF．

Answer 1

分析 连接AF，根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠C=30°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠BAF，再求出∠CAF=90°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．

解答 证明：如图，连接AF，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×（180°-120°）=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=120°-30°=90°，
∴CF=2AF，
∴CF=2BF．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键．