Question

1．阅读：（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1．
由上面的规律得（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1（n为正整数）；
根据这一规律进行计算：2²⁰¹⁴-2²⁰¹³+2²⁰¹²-2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰…-2³+2²-2+1=$\frac{{2}^{2015}+1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据阅读知识找到规律即可求解；
（2）原式变形为-$\frac{1}{3}$（-2-1）×[（-2）²⁰¹⁴+（-2）²⁰¹³+（-2）²⁰¹²+（-2）²⁰¹¹+（-2）²⁰¹⁰…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1]，计算即可得到结果．

解答 解：（1）（x-1）×（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1（n为正整数）；

（2）2²⁰¹⁴-2²⁰¹³+2²⁰¹²-2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰…-2³+2²-2+1
=-$\frac{1}{3}$×（-2-1）×[（-2）²⁰¹⁴+（-2）²⁰¹³+（-2）²⁰¹²+（-2）²⁰¹¹+（-2）²⁰¹⁰…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1]
=-$\frac{1}{3}$×[（-2）²⁰¹⁵-1]
=$\frac{{2}^{2015}+1}{3}$．
故答案为：xⁿ⁺¹-1；$\frac{{2}^{2015}+1}{3}$．

点评 此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．