Question

11．抛物线y=ax²+bx+c顶点为原点，且过点（4，8）．直线y=kx+b与抛物线交于E、F两点，若∠EOF=90°时，求证：直线过定点．

Answer 1

分析 先由抛物线y=ax²+bx+c顶点为原点，且过点（4，8），得出抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²．再把y=kx+b代入y=$\frac{1}{2}$x²，得$\frac{1}{2}$x²-kx-b=0①，设E（x₁，$\frac{1}{2}$${x}_{1}^{2}$），F（x₂，$\frac{1}{2}$${x}_{2}^{2}$），根据互相垂直的两直线斜率之积为-1得出$\frac{{\frac{1}{2}x}_{1}^{2}}{{x}_{1}}$•$\frac{{\frac{1}{2}x}_{2}^{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$x₁•x₂=-1，即x₁•x₂=-4．又利用根与系数的关系得出x₁•x₂=$\frac{-b}{\frac{1}{2}}$=-2b，那么-2b=-4，求出b=2，从而证明直线y=kx+b过定点（0，2）．

解答 证明：∵抛物线y=ax²+bx+c顶点为原点，
∴y=ax²，
又∵过点（4，8），
∴16a=8，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²．
把y=kx+b代入y=$\frac{1}{2}$x²，得$\frac{1}{2}$x²-kx-b=0①，
设E（x₁，$\frac{1}{2}$${x}_{1}^{2}$），F（x₂，$\frac{1}{2}$${x}_{2}^{2}$），
∵∠EOF=90°即OE⊥OF，
∴k₁•k₂=-1，
∴$\frac{{\frac{1}{2}x}_{1}^{2}}{{x}_{1}}$•$\frac{{\frac{1}{2}x}_{2}^{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$x₁•x₂=-1，
∴x₁•x₂=-4．
由①可知，x₁•x₂=$\frac{-b}{\frac{1}{2}}$=-2b，
∴-2b=-4，
∴b=2，
∴直线y=kx+b过定点（0，2）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，互相垂直的两直线斜率之积为-1，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，有一定难度．