Question

15．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=4，BC=2$\sqrt{5}$，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先根据勾股定理计算出AC=6，由于∠BQP=90°，根据圆周角定理得到点Q在以PB为直径的圆⊙M上，而点Q在AC上，则有AC与⊙M相切于点Q，连结MQ，根据切线的性质得MQ⊥AC，MQ=BM=$\frac{1}{2}$x，然后证明Rt△CMQ∽Rt△CAB，再利用相似比得到$\frac{1}{2}$x：4=（2$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$x）：6，最后解方程即可．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=2$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=6，
∵∠BQP=90°，
∴点Q在以PB为直径的圆⊙M上，
∵点Q在AC上，
∴AC与⊙M相切于点Q，
连结MQ，如图，则MQ⊥AC，MQ=BM=$\frac{1}{2}$x，
∵∠QCM=∠BCA，
∴Rt△CMQ∽Rt△CAB，
∴QM：AB=CM：AC，即$\frac{1}{2}$x：4=（2$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$x）：6，
∴x=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
当P与C重合时，BP=2$\sqrt{5}$，
∴BP=x的取值范围是：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．