Question

3．今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山巅C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°，点C到水平线AM的距离为600米．
（1）求B点到水平线AM的距离．
（2）求斜坡AB的坡度．

Answer 1

分析 （1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，根据在C点测得B点的俯角为30°，可得∠CBD=30°，继而可求得CD的长度，进而求出BE；
（2）先利用勾股定理求出AE的长度，再根据坡度的定义即可求得AB的坡度．

解答 解：（1）如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，
在C点测得B点的俯角为30°，
∴∠CBD=30°，又BC=400米，
∴CD=400×sin30°=400×$\frac{1}{2}$=200（米），
∴BE=DF=CF-CD=600-200=400（米），
即B点到水平线AM的距离为400米；

（2）∵BE=400米，AB=1040米，∠AEB=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{104{0}^{2}-40{0}^{2}}$=960（米），
∴斜坡AB的坡度i_AB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{400}{960}$=$\frac{5}{12}$=1：2.4，
故斜坡AB的坡度为1：2.4．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，要求同学们熟练掌握坡度的定义．