Question

10．如图，△ABC中，AB=4，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，则这个最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．通过证明△B′AB是等边三角形，根据等边三角形的性质求解．

解答 解：如图，作点B关于AC的对称点B，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．此时BM+MN的值最小．
BM+MN=B′N．
∵点B′与点B关于AC对称
∴AB′=AB
又∵∠BAC=30°，
∴∠B′AB=60°，
∴△B′AB是等边三角形
∴B′B=AB=4，∠B′BN=60°，
又∵B′N⊥AB，
∴B′N=B′B=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，难度较大．