Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点I是△ABC的内心，延长BI交⊙O于D，若AC=4，BC=3，求BI•ID的值．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，连接DC，先利用全等三角形证明BE=BF，AE=CF，求出BE、AE、AD，再证明△ADI是等腰直角三角形，最后求出BI、DI即可解决问题．

解答 解：过点D作DE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，连接DC，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，
∵∠DAC=∠DBC，∴∠ABI=∠DAC，
∴∠DAI=∠DAC+∠IAC=∠ABI+∠BAI=∠AID，
∴AD=DI；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
在△BED和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠FBD}\\{∠BED=∠BFD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BFD（AAS），
∴DE=DF，BE=BF．
∵∠ABD=∠CBD，
∴DA=DC，
∴AE²=AD²-DE²=DC²-DF²=CF²，
∴AE=CF，
∴AB-BE=BF-BC，
∴5-BE=BE-3，
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=5-4=1．
∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AE•AB=1×5=5，
∵AD＞0
∴AD=DI=$\sqrt{5}$，
在RT△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BI=BD-DI=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
∴BI•DI=$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$=5．

点评 本题主要考查内心、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，求出线段AE、BE、AD，属于中考压轴题．