Question

2．如图，抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B的左侧，点A的坐标为A（-3，0），且AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C且与x轴平行的直线交抛物线于另一个点D，抛物线的顶点为点E，试判断△CDE的形状，并求其面积．

Answer 1

分析 （1）先利用A点坐标和AB=4得到B点坐标，然后利用交点式可写出抛物线解析式；
（2）如图，通过计算自变量为0时的函数值可得C点坐标，把（1）中抛物线解析式配成顶点式得到抛物线的对称轴和顶点E的坐标，再利用对称性得到D点坐标，然后运用勾股定理的逆定理证明△CDE为等腰直角三角形，最后根据三角形面积公式计算S_△CDE．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-3，0），且AB=4，
∴B（1，0），
∴抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x²+2x-3；
（2）如图，
当x=0时，y=x²+2x-3=-3，则C（0，-3），
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点E的坐标为（-1，-4），
∵DE∥x轴，
∴点C与点D关于直线x=-1对称，
∴D（-2，-3），
∵CD²=4，CE²=1²+（-3+4）²=2，DE²=（-2+1）²+（-3+4）²=2，
∴CD²=CE²+DE²，CE=DE，
∴△CDE为等腰直角三角形，
S_△CDE=$\frac{1}{2}$•2•1=2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键是运用勾股定理的逆定理．