Question

8．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D，E是弧AB的中点，若AD=$\frac{32}{5}$，AC=8，则CE的长为（　　）

• A． 7$\sqrt{2}$
• B． 7$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{2}$
• D． 3+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先连接OC，由直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，易证得OC∥AD，继而可得AC平分∠DAB，然后连接BC，OE，过点A作AF⊥CE于点F，可证得△ADC∽△ACB，△ACB∽△AFE，△ACF是等腰直角三角形，然后由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理，即可求得答案．

解答 解：连接BC，OE，OC，过点A作AF⊥EC于点F，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
即AC平分∠DAB；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{\frac{32}{5}}{8}=\frac{8}{AB}$，
解得：AB=10，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=6，
∵点E为$\widehat{AB}$的中点，
∴∠AOE=90°，
∴OE=OA=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AE=$\sqrt{{OA}^{2}{+OE}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵∠AEF=∠B（同弧所对圆周角相等），∠AFE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△AFE，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，
∴$\frac{10}{5\sqrt{2}}=\frac{8}{AF}$，
∴AF=4$\sqrt{2}$，EF=3$\sqrt{2}$，
∵∠ACF=$\frac{1}{2}$∠AOE=45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CF=AF=4$\sqrt{2}$，
∴CE=CF+EF=7$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．