Question

5．已知：正十边形外接圆的半径为R．求证：正十边形的边长a₁₀=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-1）R．

Answer 1

分析 连接OA、0B，在OB上截取OM=AM，根据正多边形的性质、等腰三角形的性质和判定求出∠AOB=∠MAB，求出△OAB∽△ABM，得出关于a₁₀的方程，求出方程的解即可．

解答 解：设AB是圆内接正十边形的一条边，则OA=OB=R，设AB=a₁₀
连接OA、0B，在OB上截取OM=AM，
∵∠AOB=$\frac{360°}{10}$=36°，
∴∠OAM=∠AOB=36°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=72°，
∴∠MAB=72°-36°=36°，
∴∠AMB=36°+36°=72°，
∴∠B=∠AMB，
∴AB=AM=OM=a₁₀，
∵∠B=∠B，∠MAB=∠AOB，
∴△OAB∽△ABM，
∴$\frac{AB}{BM}$=$\frac{AO}{AM}$，
∴$\frac{{a}_{10}}{R-{a}_{10}}$=$\frac{R}{{a}_{10}}$，
∴a₁₀²+a₁₀R-R²=0，
∴a₁₀=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$R（或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$R不合题意舍弃）．
∴a₁₀=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-1）R．

点评 本题考查了正多边形和圆，相似三角形的性质和判定，正多边形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造相似三角形，并进一步得出关于a₁₀的方程，学会转化的思想，把问题掌握方程解决，难度适中．