Question

9．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，我们要用到分母有理化的方法将其化简：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{{（\sqrt{3}）}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}-1$
除了分母有理化，还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{{（\sqrt{3}）}^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$
（1）请用不同的方法化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$．
（2）求$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{2}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$的值（n为正整数）

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据平方差公式，可得答案．

解答 解：（1）$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
（2）原式=$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$
=$\sqrt{2n+1}$-1．

点评 本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键．