Question

5．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD边上一点，将正方形折叠，使点B与点E重合，FG是折痕，C点落在H上，EH与CD交于点N．求证：∠EBN=45°．

Answer 1

分析 过B作BQ⊥EN，由△ABE≌△QBE，△BCN≌△BQN，从而可得到∠QBE=∠ABE，∠QBN=∠NBC，从而可知∠EBQ+∠QBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°；

解答 证明：如图，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

∵GE=BG，
∴∠EBG=∠GEB．
又∵∠GEH=∠GBC=90°，
∴∠GEH-∠GEB=∠GBC-∠GBE．
即∠EBC=∠BEQ．
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC．
∴∠AEB=∠BEQ．
在△ABE和△QBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQE}\\{∠AEB=∠BEQ}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△QBE（AAS）．
∴∠ABE=∠QBE，AB=BQ，
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴∠QBH=∠HBC，
∴∠EBN=∠EBQ+∠QBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°．

点评 本题主要考查的是折叠的性质和全等三角形的性质和判定，证得两组三角形全等是解题的关键．