Question

15．在正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F在CD上，DF=3CF，连结AF、AE、EF．
（1）如图1，求出△AEF的三条边的长度；
（2）判断△AEF的形状；并说明理由；
（3）探究S_△ECF+S_△ABE与S_△AEF的关系，并说明理由；
（4）如图2，作EG⊥AF于G，
①试求出FG、AG、EG的长度；
②试探究EG²与FG×AG的关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得EC、FC、DF、BE、AD的长，然后依据勾股定理可求得EF、EB、AE的长；
（2）由勾股定理的逆定理可证明△EFA为直角三角形；
（3）依据三角形的面积公式分别求得△AEF、△ECF、△ABE的面积，从而可得出问题的答案；
（4）①依据三角形的面积公式可知S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•GE=5，从而可求得EG的长，然后再依据勾股定理可求得FG的长，然后可得到AG的长；②求得EG²、GF•AG的结果，从而可得到它们之间的关系．

解答 解：（1）∵ABCD为正方形，AB=4，
∴AB=BC=DC=AD=4．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2．
∵CD=4，DF=3CF，
∴FC=1，DF=3．
依据勾股定理可知：EF=$\sqrt{F{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=5．
（2）∵AF²=25，EF²=5，AE²=20，
∴AF²=EF²+AE²．
∴△AEF为直角三角形．
（3）S_△AEF=S_△ECF+S_△ABE．
理由：∵S_△ECF=$\frac{1}{2}$FC•CE=$\frac{1}{2}$×1×2=1，S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$×4×2=4，S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF•AE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5，
∴S_△AEF=S_△ECF+S_△ABE．
（4）①∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•GE=5，
∴$\frac{1}{2}$×5×EG=5．
∴EG=2．
在△EFG中，由勾股定理可知：FG=$\sqrt{E{F}^{2}-G{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=1．
AG=AF-GF=5-1=4．
②∵EG²=2²=4，GF•AG=1×4=4，
∴EG²=GF•AG．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式的应用，依据勾股定理的逆定理判断出△AEF为直角三角形是解题的关键．