Question

6．已知在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC，且BD=4，高AD上有一动点E（点E不与点A、点D重合），联结BE并延长与边AC相交于点F．
（1）当点E为AD中点，且BF⊥AC时，求AF；
（2）当DC=3，设DE=x，AF=y，请建立y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△AEF为等腰三角形时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出BE，再证明△BED∽△AEF，得到$\frac{AF}{BD}$=$\frac{AE}{BE}$，列出方程即可解决．
（2）作CK⊥BC，交BF的延长线于K，由AD∥KC，得到$\frac{ED}{CK}$=$\frac{BD}{BC}$，求出CK，代入$\frac{AE}{CK}$=$\frac{AF}{FC}$即可解决问题．
（3）只有AE=AF，列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵AD⊥BD，∠ABD=45°，
∴BD=AD=4，
∵AE=ED=2，在RT△BED中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵∠BED=∠AEF，∠BDE=∠AFE=90°，
∴△BED∽△AEF，
∴$\frac{AF}{BD}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AF}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（2）作CK⊥BC，交BF的延长线于K．
∵AD⊥BC，
∴AD∥KC，
∴$\frac{ED}{CK}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{x}{CK}$=$\frac{4}{7}$，
∴CK=$\frac{7}{4}$x，
∵$\frac{AE}{CK}$=$\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{4-x}{\frac{7}{4}x}$=$\frac{y}{5-y}$，
∴y=$\frac{80-20x}{3x+16}$．（0＜x＜4）．
（3）∵∠AEF＞∠DAC，∠EFA＞∠EAF，
∴只有可能∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴4-x=$\frac{80-20x}{3x+16}$，
解得：x=$\frac{4}{3}$或4（舍弃）．
∴当△AEF为等腰三角形时，DE的长为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．