Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=$\frac{1}{2}$BD，DF⊥AB于F．求证：CD=DF．

Answer 1

分析 延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA证明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=$\frac{1}{2}$AF，由线段垂直平分线的性质DCAB=BF，再根据等腰三角形的三线合一得出BD是∠ABC的角平分线，由角平分线的性质定理即可得出结论．

解答 证明：延长AE、BC交于点F．如图所示：
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，
又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCD=90°}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠FAC=∠DBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AF，即点E是AF的中点．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DF⊥AB于F，
∴CD=DF．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．