Question

9．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．
（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=$\frac{1}{2}$（∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．
（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=$\frac{1}{2}$（∠HEF+∠DEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．
②首先判断出∠NEQ=∠QEF-∠NEF=$\frac{1}{2}$（∠DEF-∠HEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°-2∠ENQ即可．

解答 解：（1）如图1，作MQ∥AB，，
∵AB∥CD，MQ∥AB，
∴MQ∥CD，
∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，
∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=$\frac{1}{2}$（∠FHP+∠FED）=$\frac{1}{2}$（∠FHP+∠HFP），
∵HP⊥EF，
∴∠HPF=90°，
∴∠FHP+∠HFP=180°-90°=90°，
∵∠1+∠2=∠M，
∴∠M=$\frac{1}{2}×90°=45°$．

（2）①如图2，，
∠FHE=2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠NEF+∠QEF=$\frac{1}{2}$（∠HEF+∠DEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．

②如图3，，
∠FHE=180°-2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠QEF-∠NEF=$\frac{1}{2}$（∠DEF-∠HEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=180°-∠CEH=180°-2∠ENQ．
综上，可得
当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°-2∠ENQ．

点评 此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．