Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，点D在AB边上，点E在BC边上，且∠CDE=30°，AD=1，则BE的长=$\frac{35\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 根据题意可得出AB=8，BC=4$\sqrt{3}$，BD=AB-AD=7，设BE=x，则CE=4$\sqrt{3}$-x，然后判断△CDE∽△CBD，继而利用相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程求出x的值即可．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°
∵AC=4，
∴AB=8，
∴BC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BD=AB-AD=7，
在△ACD中，利用余弦定理可得CD²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠A=16+1-4=13，
∴CD=$\sqrt{13}$，
又∵∠CDE=∠CBD=30°，∠ECD=∠DCB（同一个角），
∴△CDE∽△CBD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CB}$，
设BE=x，则CE=4$\sqrt{3}$-x，
即$\frac{4\sqrt{3}-x}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{4\sqrt{3}}$，
解得：x=$\frac{35\sqrt{3}}{12}$，
∵BE=$\frac{35\sqrt{3}}{12}$，
故答案为：$\frac{35\sqrt{3}}{12}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．解答本题的关键是判断出△CDE∽△CBD，利用余弦定理得出CD的长．