Question

10．如图，在△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连结BF．试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 首先证明△AED≌△FEC可得AD=CF，再证明四边形BDCF是平行四边形，然后再利用等腰三角形的性质可得CD⊥AB，进而可证出四边形BDCF是矩形，然后再证明DC=BD即可．

解答 解：四边形BDCF是正方形．
∵CF∥AB，
∴∠BAF=∠AFC．
在△AED和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=ED}\\{∠AFC=∠EAD}\\{∠AEF=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FEC（AAS）． 
∴AD=CF．
∵DB=AD，
∴DB=CF．
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB．
∴四边形BDCF是矩形．
∵AC=BC，AC⊥BC，D是AB的中点，
∴CD=BD．
∴四边形BDCF是正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定定理：邻边相等的矩形是正方形．