Question

如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=

1

2

x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）在（2）的结论下，新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（2）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定点P的坐标，然后求得点C的坐标，从而利用待定系数法确定直线AC的解析式，然后确定m的取值范围即可；
（3）求出AB中点，过此点且垂直于AB的直线在x=1的交点应该为顶点P的临界点，顶点P继续向上移动，不存在Q点，向下存在两个点P．

解答：解：（1）将A（0，-6），B（-2，0）代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

-6=c 0=2-2b+c

，
解得：

b=-2 c=-6

，
∴y=

1

2

x²-2x-6，
∴顶点坐标为（2，-8）；

（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁=

1

2

（x-2+1）²-8+m，
∴P（1，-8+m），
在抛物线y=

1

2

x²-2x-6中易得C（6，0），
∴直线AC为y₂=x-6，
当x=1时，y₂=-5，
∴-5＜-8+m＜0，
解得：3＜m＜8；

（3）∵A（0，-6），B（-2，0），
∴线段AB的中点坐标为（-1，-3），直线AB的解析式为y=-3x-6，
∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：y=

1

3

x-

8

3

，
∴直线y=

1

3

x-

8

3

与y=

1

2

（x-1）²-8+m有交点，
联立方程，求的判别式为：
△=64-12（6m-29）≥0
解得：m≤

103

18

∴①当3＜m＜

103

18

时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；      
②当m=

103

18

时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；
③当

103

18

＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还渗透了分类讨论的数学思想，这也是中考中常常出现的重要的数学思想，应加强此类题目的训练．