Question

如图，抛物线C₁：y=（x+m）²（m为常数，m＞0），平移抛物线y=-x²，使其顶点D在抛物线C₁位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C₂．抛物线C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．
 
（1）如图1，若m=

1

2

．
①当OC=2时，求抛物线C₂的解析式；
②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，当OB=2

3

-m（0＜m＜

3

）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）①首先写出平移后抛物线C₂的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C₂上，求出抛物线C₂的解析式；
②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如答图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；
（2）解题要点有3个：
i）判定△ABD为等边三角形；
ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；
iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．

解答：解：（1）当m=

1

2

时，抛物线C₁：y=（x+

1

2

）²．
∵抛物线C₂的顶点D在抛物线C₁上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+

1

2

）²）．
∴抛物线C₂：y=-（x-a）²+（a+

1

2

）²  ①．
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵点C在抛物线C₂上，
∴-（0-a）²+（a+

1

2

）²=2，
解得：a=

7

4

，代入抛物线C₂：y=-（x-a）²+（a+

1

2

）²，
得抛物线C₂的解析式为：y=-x²+

7

2

x+2．
②存在a使得点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP；
在①式中，令y=0，即：-（x-a）²+（a+

1

2

）²=0，
解得x=2a+

1

2

或x=-

1

2

，∴B（2a+

1

2

，0）；
令x=0，得：y=a+

1

4

，∴C（0，a+

1

4

）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

k•(2a+ 1 2 )+b=0 b=a+ 1 4

，解得

k=- 1 2 b=a+ 1 4

，
∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+（a+

1

4

）．
假设存在满足条件的a值．
∵AP=BP，
∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C₂的对称轴上；
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，
∴OP⊥BC．
如答图1所示，设C₂对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，
则OP⊥BC，OE=a．
∵点P在直线BC上，∴P（a，

1

2

a+

1

4

），PE=

1

2

a+

1

4

．
∵tan∠EOP=tan∠BCO=

OB

OC

=

2a+ 1 2

a+ 1 4

=2，
∴

PE

OE

=

1 2 a+ 1 4

a

=2，
解得：a=

1

6

．
∴存在a=

1

6

，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP．

（3）∵抛物线C₂的顶点D在抛物线C₁上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+m）²）．
∴抛物线C₂：y=-（x-a）²+（a+m）²．
令y=0，即-（x-a）²+（a+m）²=0，解得：x₁=2a+m，x₂=-m，∴B（2a+m，0）．
∵OB=2

3

-m，∴2a+m=2

3

-m，∴a=

3

-m．
∴D（

3

-m，3）．
AB=OB+OA=2

3

-m+m=2

3

．
如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=

1

2

AB=

3

，OE=OB-BE=

3

-m．
∵tan∠ABD=

DE

BE

=

3

3

=

3

，∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．
作∠ABD的平分线，交DE于点P₁，则P₁E=BE•tan30°=

3

•

3

3

=1，
∴P₁（

3

-m，1）；
在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P₂、P₃、P₄．
在Rt△BEP₂中，P₂E=BE•tan60°=

3

•

3

=3，
∴P₂（

3

-m，-3）；
易知△ADP₃、△BDP₄均为等边三角形，∴DP₃=DP₄=AB=2

3

，且P₃P₄∥x轴．
∴P₃（-

3

-m，3）、P₄（3

3

-m，3）．
综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，
其坐标为：P₁（

3

-m，1），P₂（

3

-m，-3），P₃（-

3

-m，3），P₄（3

3

-m，3）．

点评：本题是二次函数压轴题，以平移变换为背景，考查了二次函数、一次函数、三角函数（或相似）、等边三角形、角平分线的性质等知识点，有一定的难度．函数解析式中含有未知数，增大了试题的难度．第（2）问中，解题关键是理解“点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP”的含义；第（3）问中，满足条件的点P有4个，不要漏解．