Question

7．如图，已知⊙O的半径为5，⊙P与⊙O外切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，tan∠OAB=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
（1）求AB的长；
（2）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥AB于M，如图，在Rt△OAM中根据正切定义得到tan∠OAM=$\frac{OM}{AM}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，则设OM=$\sqrt{21}$x，AM=2x，由勾股定理得OA=5x，所以5x=5，解得x=1，于是得到AM=2，OM=$\sqrt{21}$，然后根据垂径定理得到AB=2AM=4；
（2）作PN⊥AC于N，如图，则AN=CN，设⊙P的半径为r，先证明△PAN∽△OAM，利用相似比得到AN=$\frac{2}{5}$r，则AC=2AN=$\frac{4}{5}$r，在Rt△OMC中，根据勾股定理得到OC²（$\sqrt{21}$）²+（$\frac{4}{5}$r+2）²，再证明∴△OAC∽△OCP，利用相似比得到OC²=OA•OP=5（5+r），则（$\sqrt{21}$）²+（$\frac{4}{5}$r+2）²=5（5+r），然后解r的方程即可．

解答 解：（1）作OM⊥AB于M，如图，
在Rt△OAM中，tan∠OAM=$\frac{OM}{AM}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
设OM=$\sqrt{21}$x，AM=2x，
∴OA=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=5x，
∴5x=5，解得x=1，
∴AM=2，OM=$\sqrt{21}$，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
∴AB=2AM=4；
（2）作PN⊥AC于N，如图，则AN=CN，设⊙P的半径为r，
∵OM∥AN，
∴△PAN∽△OAM，
∴$\frac{PA}{OA}$=$\frac{AN}{AM}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{AN}{2}$，解得AN=$\frac{2}{5}$r，
∴AC=2AN=$\frac{4}{5}$r，
∴MC=AC+AM=$\frac{4}{5}$r+2，
在Rt△OMC中，OC²=OM²+MC²=（$\sqrt{21}$）²+（$\frac{4}{5}$r+2）²，
∵∠OCA=∠OPC，
而∠AOC=∠COP，
∴△OAC∽△OCP，
∴OC：OP=OA：OC，
∴OC²=OA•OP=5（5+r），
∴（$\sqrt{21}$）²+（$\frac{4}{5}$r+2）²=5（5+r），
整理得16r²-45r=0，解得r₁=0（舍去），r₂=$\frac{45}{16}$，
即⊙P的半径为$\frac{45}{16}$．

点评 本题考查了相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．也考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质和解直角三角形．