Question

19．如图，长方形的宽AB=3，长BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．
（1）线段AB′的长为3；
（2）当△CEB′为直角三角形时，CE的长为1或$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得：AB′=AB=3；
（2）当△CEB′为直角三角形，可知有两种情况：①当∠CB′E=90°时与②当∠B′EC=90°时；然后分别求解即可求得答案．

解答 解：（1）由折叠的性质可得：AB′=AB=3；
故答案为：3；

（2）当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当∠CB′E=90°时，如答图1所示．
则A，B′，C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′²+CB′²=CE²，
∴x²+2²=（4-x）²，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$，
∴CE=BC-BE=$\frac{5}{2}$；
②当∠B′EC=90°时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC-BE=4-3=1；
综上所述，CE的长为1或$\frac{5}{2}$．
故答案为：1或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．