Question

19．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，正方形OEFG的一条边OE在直线OD上，OG与CD交于点M，正方形OEFG绕点O逆时针旋转，OG′，OE′分别与CD，AD交于点P，Q．已知矩形长与宽的比值为2，则在旋转过程中PM：DQ=（　　）

• A． 1：3
• B． 2：3
• C． 1：2
• D． 3：4

Answer 1

分析 由旋转的性质得∠MOP=∠DOQ，根据余角的性质得到∠PMO=∠QDO，根据相似三角形的性质得到$\frac{PM}{DQ}=\frac{OM}{OD}$，根据三角函数的定义 得到$\frac{OM}{OD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，于是得到结论．

解答 解：由旋转的性质得∠MOP=∠DOQ，
∵∠DMO+∠MDO=∠MDO+∠QDO=90°，
∴∠PMO=∠QDO，
∴△OPM∽△DOQ，
∴$\frac{PM}{DQ}=\frac{OM}{OD}$，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠ABD，
∴tan∠MDO=tan∠ABD，
即$\frac{OM}{OD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PM：DQ=$\frac{1}{2}$，
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正方形的性质矩形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．