Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；
（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，
∴AC=4，∠DAC=30°，
∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2

3

，
∵四边形ADCE为矩形，
∴OC=OA=2，
∵CF=CO，
∴CF=2，
过O作OH⊥CE于H，
∴OH=

1

2

OC=1，
∴S_{四边形AOFE}=S_△AEC-S_△COF=

1

2

×2×2

3

-

1

2

×2×1=2

3

-1．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中．