Question

△ABC中，D是BC的中点．分别以AB，AC为一边，向三角形内部作Rt△ABE，Rt△ACF，使∠ABE=∠ACF，连接DE，DF，求证：DE=DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：延长BE到M，使ME=BE，延长CF到N，使NF=CF，连接AM、MC，AN、NB，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=AB，AN=AC，然后求出∠CAM=∠BAN=∠EAF，利用“边角边”证明△ACM和△ANB全等，根据全等三角形对应边相等可得MC=BN，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=

1

2

MC，DF=

1

2

BN，等量代换即可得证．

解答：证明：如图，延长BE到M，使ME=BE，延长CF到N，使NF=CF，连接AM、MC，AN、NB，
∵∠AFC=90°，∠AEB=90°，
∴AE、AF分别是BM、CN的垂直平分线，
∴AM=AB，AN=AC，
∵∠ABE=∠ACF，
∴∠ABE=∠AME=∠ACF=∠ANF，
∴∠CAF=∠NAF=∠MAE=∠BAE，
∴∠CAM=∠BAN=∠EAF，
在△ACM和△ANB中，

AM=AB ∠CAM=∠BAN AN=AC

，
∴△ACM≌△ANB（SAS），
∴MC=BN，
∵D是BC的中点，ME=BE，NF=CF，
∴DE、DF分别是△BCM和△BCN的中位线，
∴DE=

1

2

MC，DF=

1

2

BN，
∴DE=DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线构造成全等三角形并且使DE、DF分别为三角形的中位线是解题的关键，也是本题的难点．