Question

11．在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF=120?，射线DE与线段AB相交于点E．射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，请直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：DE=DF；
（3）在∠EDF绕点D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系．
（4）当∠EDF绕点D顺时针旋转到如图3位置时，DF与线段AC的延长线相交于点F，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，AB=10，直接写出BE+CF的值．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和即可得到结论；
（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，由点D是线段BC的中点，得到AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质得到DM=DN，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2（a）中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．根据全等三角形的性质得到BM=CN，DM=DN，ME=NF，于是得到结论；
（4）过点D作DM⊥AB于M，如图2（b），由（3）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．根据已知条件得到DM=DN=FN=EM，于是得到结论．

解答 解：（1）∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵∠A=60°，∠EDF=120?，
∴∠AED=360°-∠A-∠AFD-∠EDF=90°，
∴DE⊥AB；

（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
∵点D是线段BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴DM=DN，
∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°
∵∠A=60°，
∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△EMD和△FND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠FND}\\{DM=DN}\\{∠MDE=∠NDF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△FND，
∴DE=DF；

（3）如图2（a）中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

在△BDM与△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C=60°}\\{∠BMD=∠DNC=90°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
在△DME与△DNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠FDN}\\{∠DME=∠DNF}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB；
如图3，同理BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB，
综上所述，线段BE、CF、AB之间的数量关系为：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB或BE-CF=$\frac{1}{2}$AB；

（4）过点D作DM⊥AB于M，如图2（b），
∵∠B=∠ACD=60°．
由（3）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．
∵DN=FN，
∴DM=DN=FN=EM，
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM=2BD×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∵AB=10，
∴BE+CF=5$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．