Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，O是射线AB上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与射线AC的另一个交点为D，直线OD交直线BC于点E．
（1）求证：OE=OB．
（2）若AO=4，求CE的长．
（3）设线段BE的中点为Q，射线OQ与⊙O相交于点P．
①当点E在线段BC的延长线上时，若△OBP的面积为7.2，求⊙O的半径．
②点O在运动的过程中，能否使点D，C，P，O构成一个平行四边形？若能，请求出AO的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的想知道的∠A=∠ODA，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到$\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{ED}$．根据勾股定理得到AB=10．于是得到结论；
（3）①如图1，设BE的中点为Q，连结OQ，AO=x，列方程即可得到结论；②（ⅰ）如果点O在线段AB上，点E在线段BC延长线上时（如图2），由（2）知根据三角函数的定义列方程得到CD=$\frac{4}{5}$（10-2x），当DC=OP时，点D，C，P，O构成一个平行四边形，由DC=OP，列方程即可得到结论；（ⅱ）如果点O在线段AB上，点E在线段BC上时（如图3），DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），当DC=OP时，（ⅲ）如果点O在线段AB的延长线上（如图4），点E在线段CB的延长线上时，DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），当DC=OP时，列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠EDC=∠ODA，
∴∠A=∠EDC，
∵AC⊥BC，
∴∠OBE+∠A=∠OEB+∠EDC，
∴∠OBE=∠OEB，
∴OE=OB；

（2）∵∠A=∠EDC，
在Rt△ABC和Rt△DEC，sin∠A=$\frac{BC}{AB}$，sin∠EDC=$\frac{EC}{ED}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{EC}{ED}$．
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵AO=4，
∴OB=OE=6，DE=2．
∴$\frac{6}{10}$=$\frac{CE}{2}$，CE=$\frac{6}{5}$，

（3）①如图1，设BE的中点为Q，连结OQ，AO=x，
∵OB=OE，
∴OQ⊥BE，
又∵∠ACB=90°，
∴OQ∥AC，
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{10-x}{10}=\frac{BQ}{6}$，
∴BQ=6-$\frac{3}{5}$x，
当△OBP的面积为7.2时，$\frac{1}{2}$x（6-$\frac{3}{5}$x）=7.2，
解得x₁=4，x₂=6，即⊙O的半径为4或6，
②（ⅰ）如果点O在线段AB上，点E在线段BC延长线上时（如图2），由（2）知，∠A=∠EDC，
在Rt△ABC和Rt△DEC，cos∠A=$\frac{AC}{AB}$，cos∠EDC=$\frac{CD}{EC}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DE}$，
∴$\frac{8}{10}$=$\frac{CD}{10-2x}$，CD=$\frac{4}{5}$（10-2x），
当DC=OP时，点D，C，P，O构成一个平行四边形，
由DC=OP得，$\frac{4}{5}$（10-2x）=x，
∴x=$\frac{40}{13}$；
（ⅱ）如果点O在线段AB上，点E在线段BC上时（如图3），DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），
当DC=OP时，点D，C，P，O构成一个平行四边形，
由DC=OP得，$\frac{4}{5}$（2x-10）=x，x=$\frac{40}{3}$，
∵$\frac{40}{3}$＞10，与点O在线段AB上矛盾，
∴x=$\frac{40}{3}$舍去；
（ⅲ）如果点O在线段AB的延长线上（如图4），点E在线段CB的延长线上时，
DC=$\frac{4}{5}$（2x-10），当DC=OP时，点D，C，P，O构成一个平行四边形，
由DC=OP得，$\frac{4}{5}$（2x-10）=x，
∴x=$\frac{40}{3}$．
综上所述，AO=$\frac{40}{13}$或AO=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理等知识，难度适中．