Question

4．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC=$\sqrt{3}$xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．

解答 解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，
∴∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°-30°=30°．
又∵∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°．
∴∠DBE=∠BDE．
∴BE=DE．
设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，
BC=$\sqrt{B{E}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=60，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC．
∴$\sqrt{3}$x+60=3x，
解得：x=30+10$\sqrt{3}$，
2x=60+20$\sqrt{3}$．
答：塔高约为（60+20$\sqrt{3}$）m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．