题目内容

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,∠DAE=45°,且BD=3,CE=4,求:
(1)△ACE和△ABD的面积之比;
(2)△AED面积.
考点:全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题:
分析:(1)如图1,作AG⊥BC于G,就可以表示出S△ACE=
CE•AG
2
=2AG,S△ABD=
BD•AG
2
=
3AG
2
,进而就可以求出结论;
(2)如图2,绕点A将△ABD逆时针旋转90°,得到△ACF,连接EF,作AG⊥BC于G,就可以得到△ABD≌△ACF,就可以得到BD=CF,∠ACF=45°,进而得出△ECF是直角三角形,由勾股定理就可以求出EF的值,再证明△ADE≌△AFE就可以得出DE=FE,就可以得出BC的值,就可以求出AG的值,从而得出结论.
解答:解:(1)作AG⊥BC于G,
∴∠AGC=∠AGB=90°.
∵S△ACE=
CE•AG
2
,S△ABD=
BD•AG
2

∴S△ACE=2AG,S△ABD=
3AG
2

S△ACE
S△ABD
=
2AG
3
2
AG
=
4
3

答:△ACE和△ABD的面积之比为
4
3

(2)如图2,绕点A将△ABD逆时针旋转90°,得到△ACF,连接EF,作AG⊥BC于G,
由旋转得:△ABD≌△ACF,
∴BD=CF,∠ACF=∠B,∠CAF=∠BAD.
∵∠BAC=90°,AC=AB,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ACF=45°.
∴∠ACF+∠ACB=90°,
即∠FCE=90°.
∴EF2=CF2+CE2
∴EF2=9+16,
∴EF=5.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠CAE=45°,
∴∠CAF+∠CAE=45°,
即∠FAE=45°.
∴∠FAE=∠DAE.
在△ADE和△AFE中
AD=AF
∠DAE=∠FAE
AE=AE

∴△ADE≌△AFE(SAS),
∴DE=EF=5,
∴BC=3+4+5=12.
∵AG⊥BC,
∴AG=
1
2
BC=6,
∴S△DAE=
5×6
2
=15.
答:△AED的面积为15.
点评:本题考查了等腰三角形的性质的运用,旋转的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,三角形的面积公式的运用,解答时证明三角形全等是解答的关键.
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