Question

3．如图，点B在AM上，点D在AN上，且AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F．求证：BE=DF．

Answer 1

分析 连接AC，利用“边边边”证明△ABC和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“HL”证明Rt△BCE和Rt△DCF全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：如图，连接AC，
在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=DF．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等性质，全等三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等．