Question

11．如图，AB是⊙O的直径，过圆心O作弦AD的垂线交半⊙O于点E，交AC于点C，使∠BED=∠C．
（1）求证：AC是半⊙O的切线；
（2）若AC=8，cos∠BED=$\frac{4}{5}$，求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据OC⊥AD，可得∠AOC+∠2=90°，然后根据∠BED=∠C，证明∠AOC+∠C=90°，据此即可证得C是圆O的切线；
（2）在直角△AOC中利用三角函数和勾股定理求得OC和OA的长度，然后利用三角形的面积公式求得AF的长，再根据垂径定理求解．

解答 解：（1）AC与圆O相切．证明如下：
∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠2=90°
∵∠C=∠BED=∠2，
∴∠AOC+∠C=90°，即∠CAO=90°，
∴AC与⊙O相切；
（2）∵∠BED=∠C，
∴直角△AOC中，cosC=$\frac{AC}{OC}$=cos∠BED=$\frac{4}{5}$，
∴OC=$\frac{AC}{cos∠C}$=$\frac{8}{\frac{4}{5}}$=10，
∴AO=$\sqrt{O{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
又∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC•OA=$\frac{1}{2}$OC•AF，
∴AF=$\frac{AC•OA}{OC}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵OC⊥AD，
∴AC=2AF=$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定以及垂径定理，利用三角形的面积公式求得AF的长是关键．