Question

老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在等边三角形ABCD的BC、AC边上，且BM=CN，AM与BN交于点Q，求证：∠BQM=60°．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
…
请你作出判断，在下列横线上填“是”或“否”：①

 

；②

 

；请对①②的判断，选择一个给出证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）易证△ABM≌△BCN，可得∠CBN=∠BAM，即可求得∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①根据题干中给出条件可得∠CBN=∠BAM，即可证明△ABM≌△BCN，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
②画出图形，易证CM=AN，和∠BAN=∠ACM=120°，即可证明△BAN≌△ACM，可得∠CAM=∠ABN，即可解题．

解答：证明：（1）∵在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN=60° BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN，（SAS）
∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，
∴∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，
∴∠CBN=∠BAM，
∵在△ABM和△BCN中，

∠BAM=∠CBN AB=BC ∠ABM=∠C=60°

，
∴△ABM≌△BCN，（ASA）
∴BM=CN，故答案为是；
②画出图形，

∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵BM=CN，BC=AC
∴BM-BC=CN-AC，即CM=AN，
∵在△BAN和△ACM中，

BA=AC ∠BAN=∠ACM=120° AN=CM

，
∴△BAN≌△ACM，（SAS）
∴∠CAM=∠ABN，
∵∠ABN+∠ANB=60°，∠CAM=∠NAQ，
∴∠BQM=∠ANB+∠NAQ=60°．故答案为是．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△BAN≌△ACM是解题的关键．