Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点C作AC的垂线CE，且CE=CA，连接AE、BE．
（1）若tan∠BAC=

3

3

，AE=2，求四边形ABCE的面积；
（2）若EA=EB，求证：AB=2BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,矩形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积=S_△ABC+S_△ACE即可解题；
（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，易证∠BAC=∠ECF，即可证明△ABC≌△CFE，可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题．

解答：解：（1）∵AC⊥CE，CE=CA，
∴AC=CE=

2

2

AE=

2

，
∵tan∠BAC=

3

3

，
∴∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AC=

2

2

，
∴AB=

3

BC=

6

2

，
∴四边形ABCE的面积=S_△ABC+S_△ACE=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CE
=

1

2

×

6

2

×

2

2

+

1

2

×

2

×

2

=

3

4

+1；
（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，

则四边形BDEF为矩形，∴EF=BD，
∵∠ACB+∠ECF=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ECF，
∵在△ABC和△CFE中，

∠ABC=∠F=90° ∠BAC=∠BCF AC=CE

，
∴△ABC≌△CFE，（AAS）
∴EF=BC，
∵△ABE中，AE=BE，ED⊥AB，
∴AD=BD，
∴AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，
即AB=2BC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证△ABC≌△CFE是解题的关键．