Question

11．已知：如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求BC的长．

Answer 1

分析 先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．

解答 解：∵∠A=105°，∠B=30°．
∴∠C=45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2．
∴∠DAC═∠C=45°．
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\sqrt{2}$．
∴AD=CD=$\sqrt{2}$．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°．
∵AD=$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$．
∴由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}=\sqrt{6}$．
∴BC=BD+CD=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．