Question

14．证明：四个连续整数的积再加上1，必是完全平方数．

Answer 1

分析 首先设最小的整数为x，那么四个连续整数的积再加上1就可以表示为x（x+1）（x+2）（x+3）+1，去括号，化简，再进行因式分解，得（x²+3x+1）²，所以四个连续整数的积再加上1，必是完全平方数．

解答 证明：设最小的整数为x，则另外三个连续的整数分别为：x+1、x+2、x+3，
则x（x+1）（x+2）（x+3）+1，
=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]+1，
=（x²+3x）（x²+3x+2）+1，
=（x²+3x）+2（x²+3x）+1，
=（x²+3x+1）²，
∴四个连续整数的积再加上1，必是完全平方数．

点评 本题考查了完全平方数，熟练掌握完全平方公式是解题的关键：（a+b）²=a²+2ab+b²，其次是理解完全平方式的特征：①有两项是两个数（或整式）的平方，都为正；②中间一项是两项积的2倍；其符号可以正，也可以是负．