Question

6．如图，如果一个直角三角形的内接正方形的面积恰好是三角形面积的0.48倍，则该直角三角形的两条直角边的比为（　　）

• A． 1：2
• B． 2：3
• C． 3：4
• D． 4：5

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得出∠AFE=∠EDC=90°、∠AEF=∠ECD，由此即可得出△AEF∽△ECD，根据相似三角形的性质可得出$\frac{EF}{CD}=\frac{AF}{DE}$，设AB=a，BC=b，DE=EF=c，则AF=a-c，CD=b-c，结合$\frac{EF}{CD}=\frac{AF}{DE}$以及S_{正方形BDEF}=0.48S_△ABC，即可得出关于$\frac{b}{a}$的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：在图中标上字母，如图所示．
∵四边形BDEF为正方形，
∴∠BFE=∠BDE=90°，EF∥BD，
∴∠AFE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，
∴△AEF∽△ECD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{AF}{DE}$．
设AB=a，BC=b，DE=EF=c，则AF=a-c，CD=b-c，
∴c²=（a-c）（b-c），
∴c=$\frac{ab}{a+b}$．
∵S_{正方形BDEF}=0.48S_△ABC，
∴c²=0.24ab=$（\frac{ab}{a+b}）^{2}$，
∴6•$（\frac{b}{a}）^{2}$-13•$\frac{b}{a}$+6=0，
解得：$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，
∴该直角三角形的两条直角边的比为2：3．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出关于$\frac{b}{a}$的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边的关系是关键．