Question

9．综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm³的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．
（1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．

Answer 1

分析 任务一：（1）按要求画出示意图即可；
（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出方程，解之即可．
任务二：（1）AD=DE，延长EA、ED分别交直线BC于点M、N，先证明EM=EN，再证明△MAB≌△NDC，得到AM=DN即可；
（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，
由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，
过B，C分别作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，过E作EP⊥AD于P，
则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP
得到∠BAM=∠CDN=60°，
求出AM=DN=3，BM=CN=3$\sqrt{3}$，
然后通过三角形相似即可得到结果．

解答 解：任务一：（1）如图1所示：

（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，
由题意得：4（x-2×4）（2x-2×4）=616，解得：x₁=15，x₂=-3（舍去），
∴2x=2×15=30，
答：矩形纸板的长为30cm，宽为15cm；

任务二：解：（1）AE=DE，证明如下：
如图4，延长EA，ED分别交直线BC于M，N，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠ABM=∠DCN=60°，
∵∠EAB=∠EDC=90°，
∴∠M=∠N=30°，
∴EM=EN，
在△MAB与△NDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}\\{∠ABM=∠DCN}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△MAB≌△NDC，
∴AM=DN，
∴EM-AM=EN-DN，
∴AE=DE；

（2）如图5，过B，C分别作BP⊥AD于P，CQ⊥AD于Q，GI⊥KH于点F，
则KH即为矩形纸板的长，GI即为矩形纸板的宽，
∴PQ=BC=12，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠BAP=∠CDQ=60°，
∵AB=CD=6，
∴AP=DQ=3，BP=CQ=FJ=3$\sqrt{3}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（3+3+12）=9，
∴$AE=6\sqrt{3}$，FE=3$\sqrt{3}$，
∵∠AED=120°，
∴∠MEN=60°，
∵ME=NE=4，
∴GE=2$\sqrt{3}$，
∴GI=GE+EJ+JI=2$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$+4=8$\sqrt{3}$+4，
∵∠KAS=90°-∠PAB=30°=∠HDT，
∴AK=DH=2$\sqrt{3}$，
∴KH=3+3+12+4$\sqrt{3}$=18+4$\sqrt{3}$，
∴矩形纸板的长至少为18+4$\sqrt{3}$，矩形纸板的宽至少为4+8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了长方体的平面图，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．