Question

15．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：

x（10万元）	0	1	2	…
y	1	1.5	1.8	…

（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，根据表格数据待定系数法求解可得；
（2）根据利润=销售总额减去成本费和广告费，即可列函数解析式；
（3）将（2）中函数解析式配方，结合x的范围即可得．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ a+b+c=1.5\\ 4a+2b+c=1.8\end{array}\right.$，
解得$a=-\frac{1}{10}，b=\frac{3}{5}，c=1$
∴所求函数的解析式是$y=-\frac{1}{10}{x^2}+\frac{3}{5}x+1$．

（2）根据题意，得S=10y（3-2）-x=-x²+5x+10．

（3）$S=-{x^2}+5x+10=-{（x-\frac{5}{2}）^2}+\frac{65}{4}$．
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
∴当广告费在10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．

点评 本题考查的是二次函数应用能力，建立二次函数的模型，根据二次函数的性质解题是关键．