Question

4．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=$\frac{1}{2}$
（1）求证：AE=CD；
（2）求sin∠CPD．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据垂径定理得出CE=DE=$\frac{1}{2}$CD，然后你赶紧圆周角定理和三角函数即可求得结论；
（2）作直径CE，连接ED，根据圆周角定理和已知条件求得AB=$\frac{5}{4}$CD，即可求得$\frac{CD}{CE}$=$\frac{4}{5}$，得出sin∠CED=$\frac{4}{5}$，进而求得sin∠CPD=$\frac{4}{5}$．

解答 （1）证明：连接AD，
∴∠BAD=∠BCD，
∵tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE，
∵⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CD；
（2）解：作直径CE，连接ED，
∴∠CDE=90°，
∵tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，AB⊥弦CD，
∴CE=2BE，
∵AE=CD，
∴AB=$\frac{5}{4}$CD，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE=AB，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠CED=$\frac{4}{5}$，
∵∠CED=∠CPD，
∴sin∠CPD=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了垂径定理的应用，圆周角定理的应用，直角三角函数的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．